17.1.6. Esempi di funzioni di probabilità continua#
17.1.6.1. Distribuzione gaussiana o normale, \(\mathscr{N}\)#
La funzione densità di probabilità di una variabile casuale gaussiana \(X \sim \mathscr{N}(\mu, \sigma^2)\) con valore atteso \(\mathbb{E}[X] = \mu\) e varianza \(\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2]\) è
17.1.6.2. Distribuzione chi-quadrato, \(\chi^2_N\)#
Date \(N\) variabili casuali \(\{ X_n \}_{n=1:N}\) iid con distribuzione normale \(X_n \sim \mathscr{N}(0,1)\), la somma dei loro quadrati,
è una variabile casuale con densità di probabilità \(\chi^2_N\), con \(N\) definito come il numero di gradi di libertà. La distribuzione \(\chi^2_n\) ha una funzione densità di probabilità
17.1.6.3. Distribuzione \(t\)-Student#
La \(t\) di Student è la distribuzione di probabilità che governa il rapporto tra due variabili casuali indipendenti,
con il numeratore con distribuzione normale, \(Z \sim \mathscr{N}(0,1)\), e il denominatore con distribuzione chi quadrato, \(K \sim \chi^2_n\). La pdf è
Proprietà. Per \(N \rightarrow +\infty\), la distribuzione \(t_N\) tende alla distribuzione gaussiana \(\mathscr{N}(0,1)\).