17.1.6.1. Distribuzione gaussiana o normale, $\mathcal{N}$#

La funzione densità di probabilità di una variabile casuale gaussiana $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ con valore atteso $\mathbb{E}[X]=\mu$ e varianza $\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X]{)}^2]$ è

17.1.6.2. Distribuzione chi-quadrato, ${\chi }_N^2$#

Date $N$ variabili casuali $\{X_n{\}}_{n=1:N}$ iid con distribuzione normale $X_n\sim \mathcal{N}(0,1)$, la somma dei loro quadrati,

è una variabile casuale con densità di probabilità ${\chi }_N^2$, con $N$ definito come il numero di gradi di libertà. La distribuzione ${\chi }_n^2$ ha una funzione densità di probabilità

17.1.6.3. Distribuzione $t$-Student#

La $t$ di Student è la distribuzione di probabilità che governa il rapporto tra due variabili casuali indipendenti,

con il numeratore con distribuzione normale, $Z\sim \mathcal{N}(0,1)$, e il denominatore con distribuzione chi quadrato, $K\sim {\chi }_n^2$. La pdf è

Proprietà. Per $N\to +\mathrm{\infty }$, la distribuzione $t_N$ tende alla distribuzione gaussiana $\mathcal{N}(0,1)$.