17.1.6. Esempi di funzioni di probabilità continua

17.1.6.1. Distribuzione gaussiana o normale, \(\mathscr{N}\)

La funzione densità di probabilità di una variabile casuale gaussiana \(X \sim \mathscr{N}(\mu, \sigma^2)\) con valore atteso \(\mathbb{E}[X] = \mu\) e varianza \(\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2]\) è

\[f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \qquad \propto \qquad e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \ .\]

17.1.6.2. Distribuzione chi-quadrato, \(\chi^2_N\)

Date \(N\) variabili casuali \(\{ X_n \}_{n=1:N}\) iid con distribuzione normale \(X_n \sim \mathscr{N}(0,1)\), la somma dei loro quadrati,

\[\chi_n^2 = \sum_{k=1}^{n} X^2_k \ ,\]

è una variabile casuale con densità di probabilità \(\chi^2_N\), con \(N\) definito come il numero di gradi di libertà. La distribuzione \(\chi^2_n\) ha una funzione densità di probabilità

\[f(x) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \, x^{\frac{n}{2}-1} \, e^{-\frac{x}{2}} \qquad \propto \qquad x^{\frac{n}{2}-1} \, e^{-\frac{n}{2}}\]

17.1.6.3. Distribuzione \(t\)-Student

La \(t\) di Student è la distribuzione di probabilità che governa il rapporto tra due variabili casuali indipendenti,

\[t_{\nu} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{K}{\nu}}} \ ,\]

con il numeratore con distribuzione normale, \(Z \sim \mathscr{N}(0,1)\), e il denominatore con distribuzione chi quadrato, \(K \sim \chi^2_n\). La pdf è

\[f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n \, \pi} \, \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left( 1 + \frac{x^2}{n} \right)^{-\frac{n + 1}{2}} \qquad \propto \qquad \left( 1 + \frac{x^2}{n} \right)^{-\frac{n + 1}{2}} \ .\]

Proprietà. Per \(N \rightarrow +\infty\), la distribuzione \(t_N\) tende alla distribuzione gaussiana \(\mathscr{N}(0,1)\).