11. Derivate di funzioni#

11.1. Differenze finite#

Il calcolo della derivata di una funzione \(f(x)\) derivabile in un punto \(x_0\) può essere svolto utilizzando l’espansione locale in serie di Taylor di una funzione.

11.1.1. Derivata prima#

Usando le espansioni

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x + h) & = f(x) + f'(x) \, h + f''(x) \frac{h^2}{2} + f'''(x) \frac{h^3}{3!} + o(h^3) \\ f(x - h) & = f(x) - f'(x) \, h + f''(x) \frac{h^2}{2} - f'''(x) \frac{h^3}{3!} + o(h^3) \end{aligned}\end{split}\]

si possono ricavare:

  • gli schemi del primo ordine

    \[\begin{split}\begin{aligned} f'(x) & = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + O(h) \\ f'(x) & = \frac{f(x) - f(x-h)}{h} + O(h) \\ \end{aligned}\end{split}\]

  • lo schema centrato del secondo ordine

    \[f'(x) = \dfrac{f(x+h) - f(x-h)}{2 h} + O(h^2) \]

  • lo schema non centrato del secondo ordine:

    \[f'(x) = \frac{-3 \, f(x) + 4 \, f(x+h) - f(x+2h)}{2 \, h} + O(h^2) \ .\]
    Dimostrazione

    Usando le espansioni in serie,

    \[\begin{split}\begin{aligned} f(x + h) & = f(x) + f'(x) \, h + f''(x) \frac{h^2}{2} + f'''(x) \frac{h^3}{3!} + o(h^3) \\ f(x + 2h) & = f(x) + f'(x) \, 2 h + 2 f''(x) \, h^2 + f'''(x) \frac{4}{3} h^3 + o(h^3) \\ \end{aligned}\end{split}\]

    si cerca una coppia di coefficienti della combinazione lineare \(a_1 f(x+h) + a_2 f(x+2h)\) che annullano il termine di secondo grado.

    In particolare è facile dimostrare che una di queste scelte è \(\alpha_1 = 4\), \(\alpha_2 = -1\), e la combinazione lineare per questi valori diventa,

    \[4 f(x+h) - f(x+2h) = 3 f(x) + 2 \, h f'(x) + O(h^3) \ .\]

    A questo punto è semplice isolare \(f'(x)\) per trovare lo schema numerico desiderato,

    \[f'(x) = \frac{-3 \, f(x) + 4 \, f(x+h) - f(x+2h)}{2 \, h} + O(h^2) \ .\]

  • …

  • schemi di ordine superiore…

11.1.2. Derivata seconda#

Usando le stesse espansioni in serie, si può ottenere uno schema del secondo ordine per la derivata seconda

\[f''(x) = \frac{f(x+h) - 2 f(x) + f(x-h)}{h^2} + O(h^2)\]
Dimostrazione

Usando le espansioni in serie

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x + h) & = f(x) + f'(x) \, h + f''(x) \frac{h^2}{2} + f'''(x) \frac{h^3}{3!} + f^{iv}(x) \frac{h^4}{4!} + O(h^5) \\ f(x - h) & = f(x) - f'(x) \, h + f''(x) \frac{h^2}{2} - f'''(x) \frac{h^3}{3!} + f^{iv}(x) \frac{h^4}{4!} + O(h^5) \\ \end{aligned}\end{split}\]

si può notare che nella somma che compare al numeratore dello schema numerico si annullano sia il termine di primo grado sia il termine di terzo grado,

\[ f(x+h) - 2 f(x) + f(x-h) = f''(x) \, h^2 + O(h^4) \ , \]

e quindi lo schema numerico proposto è del secondo ordine,

\[f'(x) = \frac{ f(x+h) - 2 f(x) + f(x-h) }{h^2} + O(h^2) \ .\]
""" Numerical schemes for derivatives """

df_first_order_left    = lambda f, x, h: (f(x) - f(x-h)) / h
df_first_order_right   = lambda f, x, h: (f(x+h) - f(x)) / h
df_second_order_center = lambda f, x, h: (f(x+h) - f(x-h)) / ( 2. * h )
df_second_order_left   = lambda f, x, h: (  3*f(x) - 4*f(x-h) + f(x-2*h)) / ( 2. * h )
df_second_order_right  = lambda f, x, h: (- 3*f(x) + 4*f(x+h) - f(x+2*h)) / ( 2. * h )

df_fun_dict = {
    '1_left'  : df_first_order_left,
    '1_right' : df_first_order_right,
    '2_center': df_second_order_center,
    '2_left'  : df_second_order_left,
    '2_right' : df_second_order_right
}

""" Example """
import numpy as np

f = lambda x: 2. * np.exp(- x**2)

x, h = 1., .01

for df_label, df_fun in df_fun_dict.items():
    print(f"Scheme: {df_label.ljust(10)}, value: {df_fun(f,x,h)}" )

Scheme: 1_left    , value: -1.4788256893130014
Scheme: 1_right   , value: -1.4641117378933477
Scheme: 2_center  , value: -1.4714687136031745
Scheme: 2_left    , value: -1.4716195509633268
Scheme: 2_right   , value: -1.4716121945026028