18.2. Test di verifica delle ipotesi#
Popper. Filosofia della scienza e principio di falsificabilità.
Fisher. Viene formulata un’ipotesi falsificabile, chiamata ipotesi nulla, \(\text{H}_{0}\), che viene ritenuta vera fino a prova contraria. Il test di verifica delle ipotesi ha l’obiettivo di verificare se i dati disponibili, riassunti in una variabile test, possono smentire l’ipotesi con una probabilità desiderata.
Test di verifica di Fisher
Il test di verifica di un’ipotesi di Fisher si ispira al principio di falsificabilità di Popper, e può essere riassunto nei seguenti passaggi:
formulazione di un’ipotesi falsificabile, definita ipotesi nulla, \(\text{H}_0\), da verificare e che viene ritenuta vera fino a prova contraria
scelta di una statistica test, \(x\), o variabile esplicativa, un parametro disponibile rilevante per il fenomeno indagato e di cui è nota - o approssimabile, sotto ipotesi ragionevoli sul fenomeno - la distribuzione di probabilità condizionata alla validità dell’ipotesi nulla,
scelta del test statistico (es. una coda o due code,…), in base anche alle caratteristiche del fenomeno indagato
scelta del livello di significatività, \(\alpha\), del test; il valore del livello di significatività traduce «il livello di evidenza richiesto» per falsificare l’ipotesi e - insieme alle caratteristiche del fenomeno e del test - determina le regioni di rifiuto, \(A_r(\alpha)\), e di accettazione dell’ipotesi, \(A_a(\alpha)\), gli intervalli di valori della statistica test che determinano se l’ipotesi è stata falsificata o meno;
raccolta dati e calcolo statistica test sul campione, \(x_s\)
confronto del valore calcolato della statistica test con gli intervalli di rifiuto e accettazione della variabile soggetta all’ipotesi nulla, e verdetto sull’ipotesi,
\[\begin{split}\begin{aligned} x_s \in A_r(\alpha) \qquad & \rightarrow \qquad \text{ il test falsifica $\text{H}_0$, che deve essere scartata} \\ x_s \in A_a(\alpha) \qquad & \rightarrow \qquad \text{ il test non falsifica $\text{H}_0$} \\ \end{aligned}\end{split}\]All’aumentare del livello di significatività del test richiesto, si riduce la regione di falsificazione e quindi diventano più stringenti i requisiti sul test per scartare l’ipotesi di partenza.
Risultati ed errori. Un test di ipotesi può portare a due tipi di errore:
tipo I, falso positivo: rifiuto di un’ipotesi \(\text{H}_0\) valida
tipo II, falso negativo: mancato rifiuto di un’ipotesi \(\text{H}_0\) non valida
Example 18.1 (Giudizio di un imputato)
In un tribunale, si vuole decidere se l’imputato è innocente. Si considera come ipotesi nulla \(\text{H}_0\): «l’imputato è innocente». Le indagini svolte cercano di valutare lo stato dell’imputato e portano alla decisione di condanna o assoluzione. Un errore di tipo I corrisponde alla condanna di un imputato innocente; un errore di tipo II corrisponde all’assoluzione di un imputato colpevole.
Example 18.2 (Test medico)
todo Definire potenza, \(\beta\), di un test in presenza di un’ipotesi alternativa. Fare esempio con falsi positivi, e affidabilità tamponi Covid.
\(\text{H}_0\) nulla vera: \(\alpha\): probabilità di rifiutare \(\text{H}_0\); \(1-\alpha\): probabilità di non rifiutare \(\text{H}_0\)
\(\text{H}_1\) alternativa vera: \(1-\beta\): probabilità di rifiutare \(\text{H}_0\); \(\beta\): probabilità di non rifiutare \(\text{H}_0\)
Usando questo approccio, è possibile distinguere diversi test a seconda dei dati disponibili (numero di campioni, dimensione dei campioni, distribuzione attesa delle osservazioni,…), della variabile test utilizzata, e dell’obiettivo del test. Una classificazione rigida dettagliata rischierebbe di risultare poco pratica e imperfetta.
Usi frequenti.
Test su campioni singoli o coppie di campioni
Test di correlazione tra campioni diversi
Test di indipendenza tra campioni, intesa come verifica della possibilità che i campioni disponibili provengano dalla stessa popolazione o da popolazioni con distribuzioni simili