Metodi numerici

13. Metodi numerici#

13.1. Elettrostatica#

I problemi dell’elettrostatica sono governate dalle due equazioni di Maxwell per i campi $e$ , $d$ ,

\begin{array}{r} {\begin{cases} \nabla \cdot d = ρ \\ \nabla \times e = 0, \end{cases} \end{array}

dotate delle opportune condizioni al contorno ed equazioni costitutive. Per un materiale lineare isotropo, ad esempio, $d = ε e$ . La condizione di irrotazionalità del campo elettrico, permette di scriverlo come gradiente di un potenziale scalare, $e = - \nabla v$ , e di ottenere l’equazione di Poisson,

- \nabla \cdot (ε \nabla v) = ρ .

13.1.1. Sorgente#

e (r) = \frac{q_{i}}{4 π ε} \frac{r - r_{i}}{| r - r_{i} |^{3}}

e (r) = - \nabla_{r} v (r)

ε v (r) = \frac{q_{i}}{4 π} \frac{1}{| r - r_{i} |}

13.1.2. Dipolo#

Un dipolo è definito come due cariche di intensità uguale e contraria $- q_{2} = q_{1} = q > 0$ , nei punti dello spazio $P_{1}$ , $P_{2} = P_{1} + l$ , nelle condizioni limite $| l | \to 0$ , $q \to \infty$ , in modo tale da avere $q | l |$ finito, $p = q l$ .

Il potenziale del dipolo è dato dal principio di sovrapposizione delle cause e degli effetti,

\begin{array}{r} \begin{aligned} ε v (r) & = - \frac{q}{4 π} \frac{1}{| r - r_{0} + \frac{l}{2} |} + \frac{q}{4 π} \frac{1}{| r - r_{0} - \frac{l}{2} |} = \\ = . . . \\ = \frac{q}{4 π} (- \frac{1}{| r - r_{0} |} + \frac{r - r_{0}}{{| r - r_{0} |}^{3}} \cdot \frac{l}{2} + \frac{1}{| r - r_{0} |} + \frac{r - r_{0}}{{| r - r_{0} |}^{3}} \cdot \frac{l}{2} + o (| l |)) = \\ = . . . \\ = \frac{1}{4 π} \frac{r - r_{0}}{{| r - r_{0} |}^{3}} \cdot P, \end{aligned} \end{array}

avendo definito il vettore momento dipolo $P = q l$ .

Polariazazione - Potenziale generato da una distribuzione di dipoli.

d P = p Δ V

ε v_{P} (r) = \int_{r_{0} \in V_{0}} \frac{1}{4 π} \frac{r - r_{0}}{{| r - r_{0} |}^{3}} \cdot p (r_{0}) d V_{0}

\begin{array}{r} \begin{aligned} \partial_{i} | r |^{2} & = 2 x_{i} \\ = 2 | r | \partial_{i} | r | \end{aligned} \to \partial_{i} | r | = \frac{x_{i}}{| r |} \end{array}

\partial_{i} | r |^{n} = n | r |^{n - 1} \partial_{i} | r | = n x_{i} | r |^{n - 2}

\frac{r - r_{0}}{| r - r_{0} |^{3}} = \nabla_{r_{0}} \frac{1}{| r - r_{0} |}

\begin{array}{r} \begin{aligned} \frac{r - r_{0}}{| r - r_{0} |^{3}} \cdot p (r_{0}) & = \nabla_{r_{0}} \frac{1}{| r - r_{0} |} \cdot p (r_{0}) = \\ = \nabla_{r_{0}} \cdot (\frac{1}{| r - r_{0} |} p (r_{0})) - \frac{1}{| r - r_{0} |} \nabla_{r_{0}} \cdot p (r_{0}) = \end{aligned} \end{array}

e quindi

4 π ε v_{P} (r) = \oint_{r_{0} \in \partial V_{0}} \frac{\hat{n} (r_{0}) \cdot p (r_{0})}{| r - r_{0} |} - \oint_{r_{0} \in V_{0}} \frac{\nabla_{r_{0}} \cdot p (r_{0})}{| r - r_{0} |}

I due contributi hanno la forma di sorgenti, essendo termini proporzionali a $\frac{1}{| r - r_{0} |}$ . Il potenziale dovuto alla densità di volume di dipoli equivale alla somma dei due contributi delle cariche di:

polarizzazione di superficie $σ_{p} = \hat{n} \cdot p$
polarizzazione di volume $ρ_{p} = - \nabla \cdot p$

Oss. Se la polarizzazione è uniforme nel volume, il contributo della polarizzazione nel volume si annulla e rimane solo il contributo della polarizzazione sul contorno del volume.

Oss. Legge di Gauss per il campo elettrico,

\begin{array}{r} \begin{aligned} \nabla \cdot e & = \frac{1}{ε_{0}} ρ = \\ = \frac{1}{ε_{0}} (ρ_{l} + ρ_{p}) = \\ = \frac{1}{ε_{0}} (ρ_{l} - \nabla \cdot p) \\ \nabla \cdot (ε_{0} e + p) & = ρ_{l} \\ \nabla \cdot d & = ρ_{l} \end{aligned} \end{array}

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13. Metodi numerici#

13.1. Elettrostatica#

13.1.1. Sorgente#

13.1.2. Dipolo#