I problemi dell’elettrostatica sono governate dalle due equazioni di Maxwell per i campi \(\mathbf{e}\), \(\mathbf{d}\),
\[\begin{split}\begin{cases}
\nabla \cdot \mathbf{d} = \rho \\ \\
\nabla \times \mathbf{e} = \mathbf{0 \ ,}
\end{cases}\end{split}\]
dotate delle opportune condizioni al contorno ed equazioni costitutive. Per un materiale lineare isotropo, ad esempio, \(\mathbf{d} = \varepsilon \mathbf{e}\). La condizione di irrotazionalità del campo elettrico, permette di scriverlo come gradiente di un potenziale scalare, \(\mathbf{e} = - \nabla v\), e di ottenere l’equazione di Poisson,
13.1.2. Dipolo
Un dipolo è definito come due cariche di intensità uguale e contraria \(-q_2 = q_1 = q > 0\), nei punti dello spazio \(P_1\), \(P_2 = P_1 + \mathbf{l}\), nelle condizioni limite \(|\mathbf{l}| \rightarrow 0\), \(q \rightarrow \infty\), in modo tale da avere \(q |\mathbf{l}|\) finito, \(\mathbf{p} = q \mathbf{l}\).
Il potenziale del dipolo è dato dal principio di sovrapposizione delle cause e degli effetti,
\[\begin{split}\begin{aligned}
\varepsilon \, v(\mathbf{r})
& = - \frac{q}{4 \pi }\frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 + \frac{\mathbf{l}}{2} \right|}
+ \frac{q}{4 \pi }\frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 - \frac{\mathbf{l}}{2} \right|} = \\
& = \ ... \\
& = \frac{q}{4 \pi} \left(
- \frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right|} + \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_0}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right|^3} \cdot \frac{\mathbf{l}}{2}
+ \frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right|} + \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_0}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right|^3} \cdot \frac{\mathbf{l}}{2} + o(|\mathbf{l}|) \right) = \\
& = \ ... \\
& = \frac{1}{4 \pi}
\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_0}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right|^3} \cdot \mathbf{P} \ ,
\end{aligned}\end{split}\]
avendo definito il vettore momento dipolo \(\mathbf{P} = q \mathbf{l}\).
Polariazazione - Potenziale generato da una distribuzione di dipoli.
\[d \mathbf{P} = \mathbf{p} \, \Delta V\]
\[\varepsilon v_P(\mathbf{r}) = \int_{\mathbf{r}_0 \in V_0} \frac{1}{4 \pi}
\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_0}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right|^3} \cdot \mathbf{p}(\mathbf{r}_0) \, dV_0 \]
\[\begin{split}\begin{aligned}
\partial_i |\mathbf{r}|^2 & = 2 x_i \\
& = 2 |\mathbf{r}| \partial_i |\mathbf{r}|
\end{aligned}
\qquad \rightarrow \qquad \partial_i |\mathbf{r}| = \frac{x_i}{|\mathbf{r}|}\end{split}\]
\[\partial_i |\mathbf{r}|^n = n |\mathbf{r}|^{n-1} \, \partial_i |\mathbf{r}| = n x_i |\mathbf{r}|^{n-2}\]
\[\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_0}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3} = \nabla_{\mathbf{r}_0} \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}\]
\[\begin{split}\begin{aligned}
\frac{\mathbf{r}- \mathbf{r}_0}{|\mathbf{r}- \mathbf{r}_0|^3} \cdot \mathbf{p}(\mathbf{r}_0)
& = \nabla_{\mathbf{r}_0} \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|} \cdot \mathbf{p}(\mathbf{r}_0) = \\
& = \nabla_{\mathbf{r}_0} \cdot \left( \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|} \mathbf{p}(\mathbf{r}_0) \right) - \frac{1}{|\mathbf{r}- \mathbf{r}_0|} \nabla_{\mathbf{r}_0} \cdot \mathbf{p}(\mathbf{r}_0) = \\
\end{aligned}\end{split}\]
e quindi
\[4 \, \pi \, \varepsilon v_P(\mathbf{r}) = \oint_{\mathbf{r}_0 \in \partial V_0} \frac{\hat{\mathbf{n}}(\mathbf{r}_0) \cdot \mathbf{p}(\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|} - \oint_{\mathbf{r}_0 \in V_0} \frac{\nabla_{\mathbf{r}_0} \cdot \mathbf{p}(\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|}\]
I due contributi hanno la forma di sorgenti, essendo termini proporzionali a \(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}\).
Il potenziale dovuto alla densità di volume di dipoli equivale alla somma dei due contributi delle cariche di:
Oss. Se la polarizzazione è uniforme nel volume, il contributo della polarizzazione nel volume si annulla e rimane solo il contributo della polarizzazione sul contorno del volume.
Oss. Legge di Gauss per il campo elettrico,
\[\begin{split}\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{e} & = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho = \\
& = \frac{1}{\varepsilon_0} \left( \rho_l + \rho_p \right) = \\
& = \frac{1}{\varepsilon_0} \left( \rho_l - \nabla \cdot \mathbf{p} \right) \\
\nabla \cdot \left( \varepsilon_0 \mathbf{e} + \mathbf{p} \right) & = \rho_l \\
\nabla \cdot \mathbf{d} & = \rho_l
\end{aligned}\end{split}\]
