Force, moment, and power on elementary charge distributions

4.1. Force, moment, and power on elementary charge distributions#

4.1.1. Force, moment and power on a point electric charge#

Point electric charge with charge $q$ in a point ${\vec{r}}_{P} (t)$ at time $t$ where electromagnetic field is $\vec{e} (\vec{r}, t)$ , $\vec{b} (\vec{r}, t)$ :

Lorentz’s force

$\vec{F} = q (\vec{e} ({\vec{r}}_{P} (t), t) - \vec{b} ({\vec{r}}_{P} (t), t) \times {\vec{v}}_{P} (t)),$
zero moment, since it has no dimension (and assumed uniform or symmetric or… distribution of electric charge)
power

$\begin{array}{r} \begin{aligned} P & = {\vec{v}}_{P} (t) \cdot \vec{F} = \\ = {\vec{v}}_{P} (t) \cdot q (\vec{e} ({\vec{r}}_{P} (t), t) - \vec{b} ({\vec{r}}_{P} (t), t) \times {\vec{v}}_{P} (t)) = q {\vec{v}}_{P} (t) \cdot \vec{e} ({\vec{r}}_{P} (t), t) . \end{aligned} \end{array}$

4.1.2. Force, moment and power on a electric dipole#

Electric dipole with center ${\vec{r}}_{C} (t)$ , axis $\vec{ℓ}$ , so that the positive charge $q$ is in $P_{+} = C + \frac{\vec{ℓ}}{2}$ and the negative charge is in $P_{-} = C - \frac{\vec{ℓ}}{2}$ , with $q \to + \infty$ , $| \vec{ℓ} | \to 0$ , s.t. $q | \vec{ℓ} | = | \vec{d} |$ finite.

Kinematics and expansion of the field

{\vec{v}}_{\pm} = {\vec{v}}_{C} \pm \vec{ω} \times \frac{\vec{ℓ}}{2}

\vec{e} (P_{\pm}) = \vec{e} (C \pm \frac{\vec{ℓ}}{2}) = \vec{e} (C) \pm \frac{\vec{ℓ}}{2} \cdot \nabla \vec{e} (C) + o (| \vec{ℓ} |)

\vec{b} (P_{\pm}) = \vec{b} (C \pm \frac{\vec{ℓ}}{2}) = \vec{b} (C) \pm \frac{\vec{ℓ}}{2} \cdot \nabla \vec{b} (C) + o (| \vec{ℓ} |)

Net force.

\begin{array}{r} \begin{aligned} \vec{F} & = {\vec{F}}_{+} + {\vec{F}}_{-} = \\ = q [\vec{e} (P_{+}) - \vec{b} (P_{+}) \times {\vec{v}}_{+}] - q [\vec{e} (P_{-}) - \vec{b} (P_{-}) \times {\vec{v}}_{-}] = \\ = q [{\vec{e}}_{C} + \frac{\vec{ℓ}}{2} \cdot \nabla {\vec{e}}_{C} - ({\vec{b}}_{C} + \frac{\vec{ℓ}}{2} \cdot \nabla {\vec{b}}_{C}) \times ({\vec{v}}_{C} + \vec{ω} \times \frac{\vec{ℓ}}{2})] + \\ - q [{\vec{e}}_{C} - \frac{\vec{ℓ}}{2} \cdot \nabla {\vec{e}}_{C} - ({\vec{b}}_{C} - \frac{\vec{ℓ}}{2} \cdot \nabla {\vec{b}}_{C}) \times ({\vec{v}}_{C} - \vec{ω} \times \frac{\vec{ℓ}}{2})] = \\ = q \vec{ℓ} \cdot \nabla \vec{e} (C) - (q \vec{ℓ} \cdot \nabla \vec{b} (C)) \times {\vec{v}}_{C} + \vec{b} (C) \times (\vec{ω} \times q \vec{ℓ}) + o (| \vec{ℓ} |) \end{aligned} \end{array}

Net moment, w.r.t. $C$ .

\begin{array}{r} \begin{aligned} {\vec{M}}_{C} & = \frac{\vec{ℓ}}{2} \times {\vec{F}}_{+} - \frac{\vec{ℓ}}{2} \times {\vec{F}}_{-} = \\ = q \frac{\vec{ℓ}}{2} \times [\vec{e} (P_{+}) - \vec{b} (P_{+}) \times {\vec{v}}_{+}] + q \frac{\vec{ℓ}}{2} \times [\vec{e} (P_{-}) - \vec{b} (P_{-}) \times {\vec{v}}_{-}] = \\ = q \frac{\vec{ℓ}}{2} \times [{\vec{e}}_{C} + \frac{\vec{ℓ}}{2} \cdot \nabla {\vec{e}}_{C} - ({\vec{b}}_{C} + \frac{\vec{ℓ}}{2} \cdot \nabla {\vec{b}}_{C}) \times ({\vec{v}}_{C} + \vec{ω} \times \frac{\vec{ℓ}}{2})] + \\ + q \frac{\vec{ℓ}}{2} \times [{\vec{e}}_{C} - \frac{\vec{ℓ}}{2} \cdot \nabla {\vec{e}}_{C} - ({\vec{b}}_{C} - \frac{\vec{ℓ}}{2} \cdot \nabla {\vec{b}}_{C}) \times ({\vec{v}}_{C} - \vec{ω} \times \frac{\vec{ℓ}}{2})] = \\ = q \vec{ℓ} \times [{\vec{e}}_{C} - {\vec{b}}_{C} \times {\vec{v}}_{C}] + o (| \vec{ℓ} |) . \end{aligned} \end{array}

Power.

\begin{array}{r} \begin{aligned} P & = P_{+} + P_{-} = \\ = {\vec{F}}_{+} \cdot {\vec{v}}_{+} + {\vec{F}}_{-} \cdot {\vec{v}}_{-} = \\ = q [\vec{e} (P_{+}) - \vec{b} (P_{+}) \times {\vec{v}}_{+}] \cdot {\vec{v}}_{+} - q [\vec{e} (P_{-}) - \vec{b} (P_{-}) \times {\vec{v}}_{-}] \cdot {\vec{v}}_{-} = \\ = q \vec{e} (P_{+}) \cdot {\vec{v}}_{+} - q \vec{e} (P_{-}) \cdot {\vec{v}}_{-} = \\ = q [{\vec{e}}_{C} + \frac{\vec{ℓ}}{2} \cdot \nabla {\vec{e}}_{C}] \cdot [{\vec{v}}_{C} + \vec{ω} \times \frac{\vec{ℓ}}{2}] - q [{\vec{e}}_{C} - \frac{\vec{ℓ}}{2} \cdot \nabla {\vec{e}}_{C}] \cdot [{\vec{v}}_{C} - \vec{ω} \times \frac{\vec{ℓ}}{2}] = \\ = {\vec{e}}_{C} \cdot (\vec{ω} \times q \vec{ℓ}) + (q \vec{ℓ} \cdot \nabla {\vec{e}}_{C}) \cdot {\vec{v}}_{C} + o (| \vec{ℓ} |^{2}) . \end{aligned} \end{array}

4.1.3. Force, moment and power on a magnetic dipole#

On an elementary magnetic dipole, modeled as a “small” circuit with current $i$ enclosing area $S$ and center $C$ , with $S \to 0$ , $i \to + \infty$ so that $i S \hat{n} := \vec{m}$ finite

Force.

\dots

\vec{F} = \nabla \vec{b} (C) \cdot \vec{m}

Moment.

\dots

{\vec{M}}_{C} = \vec{m} \times \vec{b} (C)

Power.

P = {\vec{v}}_{C} \cdot \nabla \vec{b} (C) \cdot \vec{m} + \vec{ω} \cdot \vec{m} \times \vec{b} (C) .

4.1.4. Energy balance#

todo Check and put charges, currents, and dipoles together with the electromagnetic field

Ispirati dalle dimensioni fisiche dei campi elettromagnetici,

\begin{array}{r} \begin{aligned} [e] = \frac{force}{charge} & , [d] = \frac{charge}{{length}^{2}} \\ [b] = \frac{force \cdot time}{charge \cdot length} & , [h] = \frac{charge}{time \cdot length} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{r} \begin{aligned} [e \cdot d] & = \frac{force}{{length}^{2}} = \frac{energy}{{length}^{3}} = [u] \\ [b \cdot h] & = \frac{force}{{length}^{2}} = \frac{energy}{{length}^{3}} = [u] \end{aligned} \end{array}

si può costruire la densità di volume di energia (todo trovare motivazioni più convincenti, non basandosi solo sull’analisi dimensionale ma sul lavoro)

u = \frac{1}{2} (e \cdot d + b \cdot h) .

Si può calcolare la derivata parziale nel tempo della densità di energia, $u$ , e usare le equazioni di Maxwell per ottenere un’equazione di bilancio dell’energia del campo elettromagnetico. Per un mezzo isotropo lineare, per il quale valgono le equazioni costitutive $d = ε e$ , $b = μ h$ , la derivata parziale nel tempo dell’energia elettromagnetica può essere riscritta sfuttando la regola di derivazione del prodotto e le equazioni di Faraday-Lenz-Neumann e Ampére-Maxwell,

\begin{array}{r} \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} & = \frac{\partial}{\partial t} (\frac{1}{2} e \cdot d + b \cdot h) = (. . .) \\ = e \cdot \partial_{t} d + h \cdot \partial_{t} b = \\ = e \cdot (\nabla \times h - j) - h \cdot \nabla \times e . \end{aligned} \end{array}

L’ultimo termine può essere ulteriormente manipolato, usando l’identità vettoriale

\begin{array}{r} \begin{aligned} e \cdot \nabla \times h - h \cdot \nabla \times e & = e_{i} ε_{i j k} \partial_{j} h_{k} - h_{i} ε_{i j k} \partial_{j} e_{k} = (i \to k, k \to i) \\ = e_{i} ε_{i j k} \partial_{j} h_{k} - h_{k} ε_{k j i} \partial_{j} e_{i} = \\ = e_{i} ε_{i j k} \partial_{j} h_{k} + h_{k} ε_{i j k} \partial_{j} e_{i} = \\ = \partial_{j} (ε_{i j k} e_{i} h_{k}) = \\ = \partial_{j} (ε_{j k i} e_{i} h_{k}) = \\ = \nabla \cdot (h \times e) = - \nabla \cdot (e \times h) \end{aligned} \end{array}

che permette di scrivere l’equazione del bilancio di energia elettromagnetica come,

\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot s = - e \cdot j,

dove è stato definito il vettore di Poynting, o meglio il campo vettoriale di Poynting,

s (r, t) := e (r, t) \times h (r, t),

che può essere identificato come un flusso di potenza per unità di superficie, comparendo sotto l’operatore di divergenza nel bilnacio di energia.

todo. Rimandare a una sezione in cui si mostra questa ultima affermazione passando dal bilancio differenziale al bilancio integrale e si usa il teorema della divergenza, $\int_{V} \nabla \cdot s = \oint_{\partial V} s \cdot \hat{n}$ .