4.1. Force, moment, and power on elementary charge distributions

4.1.1. Force, moment and power on a point electric charge

Point electric charge with charge \(q\) in a point \(\vec{r}_P(t)\) at time \(t\) where electromagnetic field is \(\vec{e}(\vec{r},t)\), \(\vec{b}(\vec{r},t)\):

• Lorentz’s force

  \[\vec{F} = q \left( \vec{e}(\vec{r}_P(t), t) - \vec{b}(\vec{r}_P(t),t) \times \vec{v}_P(t) \right) \ ,\]

• zero moment, since it has no dimension (and assumed uniform or symmetric or… distribution of electric charge)

• power

  \[\begin{split}\begin{aligned} P & = \vec{v}_P(t) \cdot \vec{F} = \\ & = \vec{v}_P(t) \cdot \, q \, \left( \vec{e}(\vec{r}_P(t), t) - \vec{b}(\vec{r}_P(t), t) \times \vec{v}_P(t) \right) = q \, \vec{v}_P(t) \cdot \vec{e}(\vec{r}_P(t),t) \ . \end{aligned}\end{split}\]

4.1.2. Force, moment and power on a electric dipole

Electric dipole with center \(\vec{r}_C(t)\), axis \(\vec{\ell}\), so that the positive charge \(q\) is in \(P_+ = C + \dfrac{\vec{\ell}}{2}\) and the negative charge is in \(P_- = C - \dfrac{\vec{\ell}}{2}\), with \(q \rightarrow +\infty\), \(|\vec{\ell}| \rightarrow 0\), s.t. \(q|\vec{\ell}| = |\vec{d}|\) finite.

Kinematics and expansion of the field

\[\vec{v}_{\pm} = \vec{v}_C \pm \vec{\omega} \times \frac{\vec{\ell}}{2}\]

\[\vec{e}(P_{\pm}) = \vec{e}\left( C \pm \dfrac{\vec{\ell}}{2} \right) = \vec{e}(C) \pm \dfrac{\vec{\ell}}{2} \cdot \nabla \vec{e}(C) + o(|\vec{\ell}|)\]

\[\vec{b}(P_{\pm}) = \vec{b}\left( C \pm \dfrac{\vec{\ell}}{2} \right) = \vec{b}(C) \pm \dfrac{\vec{\ell}}{2} \cdot \nabla \vec{b}(C) + o(|\vec{\ell}|)\]

Net force.

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{F} & = \vec{F}_+ + \vec{F}_- = \\ & = q \left[ \vec{e}(P_+) - \vec{b}(P_+) \times \vec{v}_{+} \right] - q \left[ \vec{e}(P_-) - \vec{b}(P_-) \times \vec{v}_{-} \right] = \\ & = q \left[ \vec{e}_C + \dfrac{\vec{\ell}}{2} \cdot \nabla \vec{e}_C - \left( \vec{b}_C + \dfrac{\vec{\ell}}{2} \cdot \nabla \vec{b}_C \right) \times \left( \vec{v}_C + \vec{\omega} \times \dfrac{\vec{\ell}}{2} \right) \right] + \\ & - q \left[ \vec{e}_C - \dfrac{\vec{\ell}}{2} \cdot \nabla \vec{e}_C - \left( \vec{b}_C - \dfrac{\vec{\ell}}{2} \cdot \nabla \vec{b}_C \right) \times \left( \vec{v}_C - \vec{\omega} \times \dfrac{\vec{\ell}}{2} \right) \right] = \\ & = q \vec{\ell} \cdot \nabla \vec{e}(C) - \left( q \vec{\ell} \cdot \nabla \vec{b}(C) \right) \times \vec{v}_C + \vec{b}(C) \times \left( \vec{\omega} \times q \vec{\ell} \right) + o(|\vec{\ell}|) \end{aligned}\end{split}\]

Net moment, w.r.t. \(C\).

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{M}_C & = \frac{\vec{\ell}}{2} \times \vec{F}_+ - \frac{\vec{\ell}}{2} \times \vec{F}_- = \\ & = q \frac{\vec{\ell}}{2} \times \left[ \vec{e}(P_+) - \vec{b}(P_+) \times \vec{v}_{+} \right] + q \frac{\vec{\ell}}{2} \times \left[ \vec{e}(P_-) - \vec{b}(P_-) \times \vec{v}_{-} \right] = \\ & = q \frac{\vec{\ell}}{2} \times \left[ \vec{e}_C + \dfrac{\vec{\ell}}{2} \cdot \nabla \vec{e}_C - \left( \vec{b}_C + \dfrac{\vec{\ell}}{2} \cdot \nabla \vec{b}_C \right) \times \left( \vec{v}_C + \vec{\omega} \times \dfrac{\vec{\ell}}{2} \right) \right] + \\ & + q \frac{\vec{\ell}}{2} \times \left[ \vec{e}_C - \dfrac{\vec{\ell}}{2} \cdot \nabla \vec{e}_C - \left( \vec{b}_C - \dfrac{\vec{\ell}}{2} \cdot \nabla \vec{b}_C \right) \times \left( \vec{v}_C - \vec{\omega} \times \dfrac{\vec{\ell}}{2} \right) \right] = \\ & = q \vec{\ell} \times \left[ \vec{e}_C - \vec{b}_C \times \vec{v}_C \right] + o(|\vec{\ell}|) \ . \end{aligned}\end{split}\]

Power.

\[\begin{split}\begin{aligned} P & = P_+ + P_- = \\ & = \vec{F}_+ \cdot \vec{v}_+ + \vec{F}_- \cdot \vec{v}_- = \\ & = q \, \left[ \vec{e}(P_+) - \vec{b}(P_+) \times \vec{v}_{+} \right] \cdot \vec{v}_{+} - q \, \left[ \vec{e}(P_-) - \vec{b}(P_-) \times \vec{v}_{-} \right] \cdot \vec{v}_{-} = \\ & = q \, \vec{e}(P_+) \cdot \vec{v}_{+} - q \, \vec{e}(P_-) \cdot \vec{v}_{-} = \\ & = q \, \left[ \vec{e}_C + \dfrac{\vec{\ell}}{2} \cdot \nabla \vec{e}_C \right] \cdot \left[ \vec{v}_C + \vec{\omega} \times \dfrac{\vec{\ell}}{2} \right] - q \, \left[ \vec{e}_C - \dfrac{\vec{\ell}}{2} \cdot \nabla \vec{e}_C \right] \cdot \left[ \vec{v}_C - \vec{\omega} \times \dfrac{\vec{\ell}}{2} \right] = \\ & = \vec{e}_C \cdot \left( \vec{\omega} \times q \vec{\ell} \right) + \left( q \vec{\ell} \cdot \nabla \vec{e}_C \right) \cdot \vec{v}_C + o(|\vec{\ell}|^2) \ . \end{aligned}\end{split}\]

4.1.3. Force, moment and power on a magnetic dipole

On an elementary magnetic dipole, modeled as a “small” circuit with current \(i\) enclosing area \(S\) and center \(C\), with \(S \rightarrow 0\), \(i \rightarrow + \infty\) so that \(i S \hat{n} := \vec{m}\) finite

Force.

\[\dots\]

\[\vec{F} = \nabla \vec{b}(C) \cdot \vec{m}\]

Moment.

\[\dots\]

\[\vec{M}_C = \vec{m} \times \vec{b}(C)\]

Power.

\[P = \vec{v}_C \cdot \nabla \vec{b}(C) \cdot \vec{m} + \vec{\omega} \cdot \vec{m} \times \vec{b}(C) \ .\]

4.1.4. Energy balance

todo Check and put charges, currents, and dipoles together with the electromagnetic field

Ispirati dalle dimensioni fisiche dei campi elettromagnetici,

\[\begin{split}\begin{aligned} \left[\mathbf{e}\right] = \frac{\text{force}}{\text{charge}} \qquad & , \qquad [\mathbf{d}] = \frac{\text{charge}}{\text{length}^2} \\ [\mathbf{b}] = \frac{\text{force}\cdot\text{time}}{\text{charge}\cdot\text{length}} \qquad & , \qquad [\mathbf{h}] = \frac{\text{charge}}{\text{time} \cdot \text{length}} \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} \left[\mathbf{e} \cdot \mathbf{d}\right] & = \frac{\text{force}}{\text{length}^2} = \frac{\text{energy}}{\text{length}^3} = [u] \\ [\mathbf{b} \cdot \mathbf{h}] & = \frac{\text{force}}{\text{length}^2} = \frac{\text{energy}}{\text{length}^3} = [u] \end{aligned}\end{split}\]

si può costruire la densità di volume di energia (todo trovare motivazioni più convincenti, non basandosi solo sull’analisi dimensionale ma sul lavoro)

\[u = \frac{1}{2} \left( \mathbf{e} \cdot \mathbf{d} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{h} \right) \ .\]

Si può calcolare la derivata parziale nel tempo della densità di energia, \(u\), e usare le equazioni di Maxwell per ottenere un’equazione di bilancio dell’energia del campo elettromagnetico. Per un mezzo isotropo lineare, per il quale valgono le equazioni costitutive \(\mathbf{d} = \varepsilon \mathbf{e}\), \(\mathbf{b} = \mu \mathbf{h}\), la derivata parziale nel tempo dell’energia elettromagnetica può essere riscritta sfuttando la regola di derivazione del prodotto e le equazioni di Faraday-Lenz-Neumann e Ampére-Maxwell,

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{\partial u}{\partial t} & = \dfrac{\partial}{\partial t}\left( \frac{1}{2} \mathbf{e} \cdot \mathbf{d} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{h} \right) = \qquad (...) \\ & = \mathbf{e} \cdot \partial_t \mathbf{d} + \mathbf{h} \cdot \partial_t \mathbf{b} = \\ & = \mathbf{e} \cdot (\nabla \times \mathbf{h} - \mathbf{j}) - \mathbf{h} \cdot \nabla \times \mathbf{e} \ . \end{aligned}\end{split}\]

L’ultimo termine può essere ulteriormente manipolato, usando l’identità vettoriale

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{e} \cdot \nabla \times \mathbf{h} - \mathbf{h} \cdot \nabla \times \mathbf{e} & = e_i \varepsilon_{ijk} \partial_j h_k - h_i \varepsilon_{ijk} \partial_j e_k = \qquad (i \rightarrow k, k \rightarrow i)\\ & = e_i \varepsilon_{ijk} \partial_j h_k - h_k \varepsilon_{kji} \partial_j e_i = \\ & = e_i \varepsilon_{ijk} \partial_j h_k + h_k \varepsilon_{ijk} \partial_j e_i = \\ & = \partial_j (\varepsilon_{ijk} e_i h_k ) = \\ & = \partial_j (\varepsilon_{jki} e_i h_k ) = \\ & = \nabla \cdot (\mathbf{h} \times \mathbf{e}) = - \nabla \cdot (\mathbf{e} \times \mathbf{h}) \end{aligned}\end{split}\]

che permette di scrivere l’equazione del bilancio di energia elettromagnetica come,

\[\frac{\partial u }{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{s} = - \mathbf{e} \cdot \mathbf{j} \ ,\]

dove è stato definito il vettore di Poynting, o meglio il campo vettoriale di Poynting,

\[\mathbf{s}(\mathbf{r},t) := \mathbf{e}(\mathbf{r},t) \times \mathbf{h}(\mathbf{r},t) \ ,\]

che può essere identificato come un flusso di potenza per unità di superficie, comparendo sotto l’operatore di divergenza nel bilnacio di energia.

todo. Rimandare a una sezione in cui si mostra questa ultima affermazione passando dal bilancio differenziale al bilancio integrale e si usa il teorema della divergenza, \(\int_V \nabla \cdot \mathbf{s} = \oint_{\partial V} \mathbf{s} \cdot \hat{\mathbf{n}}\).

Bilancio di energia di cariche nel vuoto, o i materiali senza polarizzazione o magnetizzazione

Moto di cariche puntiformi. L’equazione del moto di carica puntiforme \(q_k\) nella posizione \(\mathbf{r}_k(t)\) al tempo \(t\) è

\[m_k \ddot{\mathbf{r}}_k = \mathbf{f}_k + \mathbf{f}_k^{em} \ ,\]

avendo riconosciuto i contributi di forza dovuti al campo elettromagnetico come \(\mathbf{f}_k^{em}\) dagli altri. L’espressione della forza dovuta al campo elettromagnetico sulla carica \(k\) è data dalla forza di Lorentz,

\[\mathbf{f}_k^{em}(t) = q_k \left[ \mathbf{e}(\mathbf{r_k}(t), t) - \mathbf{b}(\mathbf{r}_k(t), t) \times \dot{\mathbf{r}}_k(t) \right]\]

Continuità della carica elettrica. La densità di carica e di corrente elettrica di un insieme di cariche libere puntiformi macroscopiche può essere scritta come

\[\begin{split}\begin{aligned} \rho(\mathbf{r},t) & = \sum_k q_k \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_k(t)) \\ \mathbf{j}(\mathbf{r},t) & = \sum_k q_k \dot{\mathbf{r}}_k(t) \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_k(t)) \ . \end{aligned}\end{split}\]

L’equazione di continuità della carica, \(\partial_t \rho + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\), risulta quindi soddisfatta,

\[\begin{split}\begin{aligned} \partial_t \rho & = - \sum_k q_k \, \partial_i \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_k(t)) \, \dot{r}_{k,i} \\ \partial_i j_i & = \sum_k q_k \, \dot{r}_{k,i} \, \partial_i \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_k(t)) \\ \end{aligned}\end{split}\]

Procedimento alternativo (e più generale?)

todo In caso questo procedimento sia più generale, o più corretto, sostituire il procedimento precedente.

La carica elementare in un volumetto \(\Delta V\) è data da dal prodotto tra il volume e la densità volumetrica di carica, \(\rho \Delta V\); la velocità media locale della carica elettrica è \(\mathbf{v}\); la forza agente sulla carica elementare immersa in un campo elettromagnetico è determinata dalla formula di Lorentz, \(\mathbf{f} \Delta V = \Delta V \rho \left( \mathbf{e} - \mathbf{b} \times \mathbf{v} \right)\). La potenza di questa forza è il prodotto scalare con la velocità media delle cariche, \(\Delta V \mathbf{f} \cdot \mathbf{v}\)

La potenza del campo elettromagnetico sul moto della carica elettrica per unità di volume è quindi

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{f} = \rho \mathbf{v} \cdot \left( \mathbf{e} - \mathbf{b} \times \mathbf{v} \right) = \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{e} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{e} \ .\]

todo

• discutere questo termine del bilancio di energia cinetica nel moto della carica elettrica

• questo termine compare con segno opposto nel bilancio dell’energia elettromagnetica del sistema

• dove compare la non-conservatività del problema in presenza di materiali dissipativi (come resistenza elettrica con \(\mathbf{e} = \rho_R \mathbf{j}\)?

Il termine \(\mathbf{e} \cdot \mathbf{j}\) può essere manipolato usando le equazioni di Maxwell, e le relazioni

\[\begin{split}\begin{cases} \mathbf{d} = \varepsilon_0 \mathbf{e} + \mathbf{p} \\ \mathbf{h} = \frac{\mathbf{b}}{\mu_0} - \mathbf{m} \\ \end{cases}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{e} \cdot \mathbf{j} & = \mathbf{e} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{h} - \partial_t \mathbf{d} \right) = \\ & = - \nabla \cdot \left( \mathbf{e} \times \mathbf{h} \right) + \mathbf{h} \cdot \nabla \times \mathbf{e} - \mathbf{e} \cdot \partial_t \mathbf{d} = \\ & = - \nabla \cdot \left( \mathbf{e} \times \mathbf{h} \right) - \mathbf{h} \cdot \partial_t \mathbf{b} - \mathbf{e} \cdot \partial_t \mathbf{d} \end{aligned}\end{split}\]

Gli ultimi due termini possono essere manipolati in diverse maniere,

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{e} \cdot \partial_t \mathbf{d} = \mathbf{e} \cdot \partial_t \left( \varepsilon_0 \mathbf{e} + \mathbf{p} \right) & = \partial_t \left( \frac{1}{2} \varepsilon_0 \mathbf{e} \cdot \mathbf{e} \right) + \mathbf{e} \cdot \partial_t \mathbf{p} \\ & = \partial_t \left( \frac{1}{2} \mathbf{e} \cdot \mathbf{d} \right) + \frac{1}{2} \left( \mathbf{e} \cdot \partial_t \mathbf{p} - \mathbf{p} \cdot \partial_t \mathbf{e} \right) \\ & = \partial_t \left( \frac{1}{2 \varepsilon_0} \mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \right) - \frac{\mathbf{p}}{\varepsilon_0} \cdot \partial_t \mathbf{d} \\ \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{h} \cdot \partial_t \mathbf{b} = \mathbf{h} \cdot \partial_t \left( \mu_0 \mathbf{h} + \mu_0 \mathbf{m} \right) & = \partial_t \left( \frac{1}{2} \mu_0 \mathbf{h} \cdot \mathbf{h} \right) + \mu_0 \mathbf{h} \cdot \partial_t \mathbf{m} \\ & = \partial_t \left( \frac{1}{2} \mathbf{b} \cdot \mathbf{h} \right) + \frac{1}{2} \mu_0 \left( \mathbf{h} \cdot \partial_t \mathbf{m} - \mathbf{m} \cdot \partial_t \mathbf{h} \right) \\ & = \partial_t \left( \frac{1}{2 \mu_0} \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \right) - \mathbf{m} \cdot \partial_t \mathbf{b} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Nel vuoto o in mezzi lineari \(\mathbf{e} \cdot \partial_t \mathbf{p} - \mathbf{p} \cdot \partial_t \mathbf{e} = \mathbf{0}\), \(\mathbf{h} \cdot \partial_t \mathbf{m} - \mathbf{m} \cdot \partial_t \mathbf{h} = \mathbf{0}\). Usando le seconde espressioni, si può riscrivere l’equazione dell’energia del campo elettromagnetico come

\[\begin{split}\begin{aligned} \partial_t \left( \frac{1}{2} \mathbf{e} \cdot \mathbf{d} + \frac{1}{2} \mathbf{b} \cdot \mathbf{h} \right) + \nabla \cdot \left( \mathbf{e} \times \mathbf{h} \right) & = - \ \mathbf{e} \cdot \mathbf{j} \ + \\ & \quad - \frac{1}{2} \left[ \mathbf{e} \cdot \partial_t \mathbf{p} - \mathbf{p} \cdot \partial_t \mathbf{e} + \mu_0 \left( \mathbf{h} \cdot \partial_t \mathbf{m} - \mathbf{m} \cdot \partial_t \mathbf{h} \right) \right] \end{aligned}\end{split}\]

o, usando le definizioni di densità di energia elettromagnetica \(u\) e vettore di Poynting \(\mathbf{s}\),

\[ \partial_t u + \nabla \cdot \mathbf{s} = - \ \mathbf{e} \cdot \mathbf{j} \ - \frac{1}{2} \left[ \mathbf{e} \cdot \partial_t \mathbf{p} - \mathbf{p} \cdot \partial_t \mathbf{e} + \mu_0 \left( \mathbf{h} \cdot \partial_t \mathbf{m} - \mathbf{m} \cdot \partial_t \mathbf{h} \right) \right] \]