4. Equazioni di bilancio di altre grandezze fisiche#
- Aggiungere bilanci in altra forma (**integrale per volumi qualsiasi**, **differenziale convettiva**, **conservativa**; **coordinate non fisiche**; aggiungere considerazioni su **entropia in solidi**), anche in altre sezioni del bbook;- Sistemare i contenuti
Partendo dai bilanci di massa, quantità di moto e di energia totale, si possono ricare le le equazioni di bilancio di altre grandezze fisiche come l’energia cinetica, l’energia interna, l’entropia.
4.1. Bilanci in forma differenziale, convettiva#
Energia cinetica. L’energia cinetica (macroscopica) per unità di massa è \(k = \frac{1}{2}|\mathbf{u}|^2 = \frac{1}{2} \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}\). L’equazione di bilancio dell’energia cinetica viene derivata moltiplicando scalarmente l’equazione della quantità di moto
per il campo di velocità \(\mathbf{u}\),
avendo usato \(\mathbf{u} \cdot d \mathbf{u} = d \left( \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}{2} \right) = dk\).
Energia interna. L’energia interna per unità di massa è la differenza tra l’energia totale e l’energia cinetica, \(e = e^{tot} - k\). L’equazione di bilancio dell’energia interna viene ottenuta come differenza dell’equazione dell’energia totale
e quella dell’energia cinetica, per ottenere
Entropia.
Entropia nei fluidi. Se l’entropia può essere scritta come funzione dell’energia interna e della densità, e il primo principio della termodinamica viene scritto come
\[de = \frac{P}{\rho^2} \, d \rho + T \, ds \ ,\]e il tensore degli sforzi può essere rappresentato come somma degli sforzi di pressione e degli sforzi viscosi todo riferimento alle leggi costitutive,
\[\mathbb{T} = - P \mathbb{I} + \mathbb{S} = - P \mathbb{I} + 2 \mu \mathbb{D} + \lambda (\nabla \cdot \mathbf{u}) \mathbb{I} \ ,\]si può ricavare l’equazione di governo dell’entropia usando il differenziale \(ds = \dfrac{1}{T} \, de - \dfrac{P}{T \rho^2} \, d \rho\)
\[\begin{split}\begin{aligned} \rho \dfrac{D s}{D t} & = \dfrac{\rho}{T} \left( \dfrac{D e }{D t} - \dfrac{P}{\rho^2} \dfrac{D \rho}{D t} \right) = \\ & = \dfrac{1}{T} \left( \rho \dfrac{D e }{D t} - \dfrac{P}{\rho} \dfrac{D \rho}{D t} \right) = \\ & = \dfrac{1}{T} \left( \mathbb{T} : \nabla \mathbf{u} - \nabla \cdot \mathbf{q} + \rho r - \dfrac{P}{\rho} \left( \rho \nabla \cdot \mathbf{u} \right) \right) = \\ & = \dfrac{1}{T} \left( -P \nabla \cdot \mathbf{u} + \mathbb{S} : \nabla \mathbf{u} - \nabla \cdot \mathbf{q} + \rho r + P \ \nabla \cdot \mathbf{u} \right) = \\ & = \dfrac{1}{T} \left( \mathbb{S} : \nabla \mathbf{u} - \nabla \cdot \mathbf{q} + \rho r \right) = \\ & = \dfrac{1}{T} \left( 2 \mu |\mathbb{D}|^2 + \lambda |(\nabla \cdot \mathbf{u})|^2 - \nabla \cdot \mathbf{q} + \rho r \right) = \\ & = \dfrac{2 \mu |\mathbb{D}|^2 + \lambda |(\nabla \cdot \mathbf{u})|^2 }{T} - \frac{\mathbf{q} \cdot \nabla T}{T^2} - \nabla \cdot \left( \dfrac{\mathbf{q}}{T} \right) + \dfrac{\rho r}{T} \ , \\ \end{aligned}\end{split}\]avendo usato la degola del prodotto \(\nabla \cdot \left( \dfrac{\mathbf{q}}{T} \right) = \dfrac{\nabla \cdot \mathbf{q}}{T} - \dfrac{\mathbf{q} \cdot \nabla T}{T^2}\).
Gli ultimi due termini sono legati alla sorgenti di entropia nel sistema, dovute alla sorgente di calore nel sistema e al flusso di calore tramite la frontiera del sistema.
I primi due termini possono essere ricondotti alla dissipazione viscosa e dovuta alla conduzione termica all’interno del volume: entrambi devono essere non-negativi per il secondo principio della termodinamica todo. Il primo termine è positivo se i coefficienti di viscosità del modello di fluido newtoniano sono non-negativi
\[\mu, \lambda \ge 0\]. Il secondo termine impone che il flusso di calore avvenga in direzione opposta al gradiente di temperatura locale, e quindi la proiezione su di esso sia negativa (traducendo il concetto che il calore trasferisce energia da un corpo caldo a uno freddo),
\[- \mathbf{q} \cdot \nabla T \ge 0 \ ,\]come è facile da verificare per il modello di Fourier per la conduzione in mezzi isotropi, \(\mathbf{q} = - k \nabla T\), \(- \mathbf{q} \cdot \nabla T = k |\nabla T|^2 \ge 0\) se
\[k \ge 0 \ .\]Nel caso di modello lineare per la conduzione in mezzi non isotrpi, il flusso di conduzione può essere descritto usando un tensore del secondo ordine \(\mathbb{K}\), \(\mathbf{q} = - \mathbb{K} \cdot \nabla T\) (todo simmetria?) e la condizione diventa
\[0 \le - \nabla T \cdot \mathbf{q} = \nabla T \cdot \mathbb{K} \cdot \nabla T \ ,\]che impone che il tensore di conduzione sia (semi-)definito positivo, a causa dell’arbitrarietà del vettore \(\nabla T\).
Se questi due termini sono non-negativi, il bilancio di entropia può essere riscritto come la disuguaglianza
\[\begin{split}\begin{aligned} \rho \dfrac{D s}{D t} & = \underbrace{\dfrac{2 \mu |\mathbb{D}|^2 + \lambda |(\nabla \cdot \mathbf{u})|^2 }{T} - \frac{\mathbf{q} \cdot \nabla T}{T^2}}_{\ge 0} - \nabla \cdot \left( \dfrac{\mathbf{q}}{T} \right) + \dfrac{\rho r}{T} = \\ & \ge - \nabla \cdot \left( \dfrac{\mathbf{q}}{T} \right) + \dfrac{\rho r}{T} \ , \end{aligned}\end{split}\]o nella forma integrale per un volume materiale
\[\dfrac{d}{dt} \int_{V_t} \rho s \ge - \oint_{\partial V_t} \mathbf{\hat{n}} \cdot \dfrac{\mathbf{q}}{T} + \int_{V_t} \rho \dfrac{r}{T} \ ,\]che richiama alla mente la disuguaglianza di Clausius todo aggiungere riferimento
\[d S \ge \dfrac{\delta Q^{e}}{T} \ .\]La differenza di segno deriva dalla definizione di \(d Q^e\) come flusso di calore dall’ambiente verso il sistema e del vettore flusso di calore \(\mathbf{q}\) come flusso di calore “uscente dal sistema” todo