(math-hs:series-functions-real)= # Successioni e serie di funzioni reali Questa sezione è dedicata alle successioni e serie di funzioni reali. ```{dropdown} Vedi anche :open: * [Successioni e serie numeriche reali](math-hs:sequence-series-numerical-real) * [Successioni e serie di funzioni reali](math-hs:series-functions-real) * [Successioni e serie numeriche complesse](math-hs:series-numerical-complex) * [Successioni e serie di funzioni complesse](math-hs:series-functions-complex) ``` (math-hs:series:fun:sequences:def)= ## Successioni di funzioni **Definizione.** Una successione di funzioni tra l'insieme $X$ e l'insieme $Y$, è una funzione che associa ai numeri interi $n \in \mathbb{N}$ una funzione $f_n: X \rightarrow Y$. **Limite di una successione di funzioni.** Limite "punto per punto". L'esistenza di un limite (finito?) punto per punto definisice la [convergenza puntuale](math-hs:series:fun:sequences:convergence:point). (math-hs:series:fun:sequences:convergence)= ### Convergenza (math-hs:series:fun:sequences:convergence:point)= #### Convergenza puntuale ```{prf:definition} Convergenza puntuale :label: series-fun-seq-convergence-point Sia $\{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ una successione di funzioni $f_n: X \rightarrow \mathbb{R}$. La successione converge puntualmente alla funzione $f$ se per ogni $x \in X$ e per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che $$|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon \ ,$$ per tutti gli $n > N$. ``` **Osservazione.** Qui $N(\varepsilon,x)$. (math-hs:series:fun:sequences:convergence:uniform)= #### Convergenza uniforme ```{prf:definition} Convergenza uniforme :label: series-fun-seq-convergence-uniform Sia $\{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ una successione di funzioni $f_n: X \rightarrow \mathbb{R}$. La successione converge uniformemente alla funzione $f$ se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che $$|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon \ , \qquad \forall x \in X \ ,$$ per tutti gli $x \in X$ tutti gli $n > N$. ``` **Osservazione.** Qui $N(\varepsilon)$. (math-hs:series:fun:sequences:convergence:example)= #### Esempio The sequence of functions $$f_n(x) = \frac{n x}{1+n^2 x^2}$$ converges pointwise for every $x \in D = [0,1]$, while it fails to converge uniformly. **Pointwise convergence.** For any fixed $x \in D$, $$\lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n x}{1+n^2 x^2} = 0 \ ,$$ and thus the sequence of functions $f_n(x)$ **converges pointwise** to $f(x) = 0$ everywhere in $D$, i.e. for $\forall x \in D$. **Uniform convergence.** Let's prove that this sequence of functions doesn't converge uniformly to $f(x) = 0$, evaluating the maximum of the difference $$\max_{x \in D} | f_n(x) - f(x) | = \| f_n(x) - f(x) \|_{\infty} = \left|\ \frac{nx}{1+n^2x^2} \right| \ .$$ With the study of function of $g(x;n) = \frac{nx}{1+n^2x^2}$, its derivative reads $$\frac{d}{dx} g(x;n) = \frac{n(1+n^2 x^2) - 2 n^3 x^2}{(1+n^2 x^2)^2} = \frac{n ( 1 - n^2 x^2 )}{(1+n^2 x^2)^2} \ .$$ This becomes zero for $\overline{x}_n = \frac{1}{n}$ (it's a maximum) and the function (max distance between $f_n(x)$ and $f(x)=0$) reads $$g(\overline{x}_n;n) = \frac{1}{2} \ .$$ Thus, it's not possible to find a $n$ so that $|y_{n}(x) - f(x)| < \frac{1}{2}$ for $\forall x \in D$ and $n > N$. ```{list-table} :header-rows: 0 * - ![](../../media/function-sequence-convergence-example.png) ``` ### Proprietà nell'ipotesi di convergenza uniforme Sotto opportune ipotesi, la convergenza uniforme permette di invertire l'ordine del limite $\lim_{n\rightarrow+\infty}$ della successione di funzioni $f_n(x)$ con gli operatori di limite $\lim_{x \rightarrow + \infty}$, di derivata e di integrale. #### Limite If the sequence of continuous functions $f_n(x) \rightarrow f(x)$ uniformly, then $f(x)$ is continuous as well. This allows interchanging the order of the limits, $$\lim_{n \rightarrow +\infty} \lim_{x \rightarrow c}f_n(x) = \lim_{x \rightarrow c} \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \ .$$ ```{dropdown} Dimostrazione :open: $$\begin{aligned} | f(x) - f(c) | & = | f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(c) + f_n(c) - f(c)| = \\ & \le | f(x) - f_n(x) | + | f_n(x) - f_n(c) | + | f_n(c) - f(c)| \end{aligned}$$ * The first term is treated with *uniform convergence*. Uniform covergence implies, $\forall \varepsilon_1 > 0$, $\exists N_1$ s.t. $| f_n(x) - f(x) | < \varepsilon_1$ for $\forall x$, $\forall n > N_1$. * the third with the pointwise convergence in $x = c$. Pointwise covergence for $x = c$ implies, $\forall \varepsilon_3 > 0$, $\exists N_3$ s.t. $| f_n(c) - f(c) | < \varepsilon_3$ for $\forall n > N_3$. * the second with *continuity of $f_n(x)$*. Let's choose and **fix** a specific $n$, so that $n > \max\{ N_1, N_3 \}$, Continuity of $f_{n}(x)$ in $x = c$ implies $\forall \varepsilon_2 > 0$, $\exists \delta_2 > 0$ s.t. $|f_{n}(x) - f_{n}(c)| < \varepsilon_2$ for $\forall x \in U_{c,\delta_2}$. Fix $\varepsilon > 0$, and let $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = \varepsilon_3 = \frac{\varepsilon}{3}$. $$\begin{aligned} | f(x) - f(c) | & = | f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(c) + f_n(c) - f(c)| = \\ & \le | f(x) - f_n(x) | + | f_n(x) - f_n(c) | + | f_n(c) - f(c)| = \\ & \le \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3 = \varepsilon \ , \end{aligned}$$ for $\forall x \in U_{c,\delta_2}$. This is the definition of continuity of $f(x)$ in $x = c$. ``` #### Integrale Aka [**Teorema della convergenza dominata**](https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_convergenza_dominata). If continuous functions $f_n(x) \rightarrow f(x)$ continuously for $x \in [a,b]$ then $$\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \ .$$ ```{dropdown} Dimostrazione :open: **Proof.** Let's prove the limit as $n \rightarrow +\infty$ of the absolute value of the difference of the integral of the sequence and the function is zero. $$\begin{aligned} \left| \int_{a}^{b} f_n(x) \, dx - \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| = \left| \int_{a}^{b} \left[ f_n(x) - f(x) \right] \, dx \right| \le \int_{a}^{b} \left| f_n(x) - f(x) \right| \, dx \ . \end{aligned}$$ If $f_n(x) \rightarrow f(x)$ uniformly, then for $\forall \varepsilon > 0$, there's a $N$ s.t. $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$ for $\forall x \in [a,b]$, $\forall n > N$. Let's set $\widetilde{\varepsilon} := \varepsilon (b-a)$, then $$\int_{a}^{b} \left| f_n(x) - f(x) \right| \, dx < \varepsilon (b-a) = \widetilde{\varepsilon} \ .$$ Combining the inequalities provides the definition of the limit of the sequence $I_n := \int_{a}^{b} f_n(x) \, dx$, with value $I := \int_{a}^{b} f(x) \, dx$, > For $\forall \widetilde{\varepsilon} > 0$, $\exists N$ so that $ | I_n - I | < \widetilde{\varepsilon} $. or equivalently $$\lim_{n \rightarrow +\infty} I_n = I$$ or $$\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \ .$$ ``` #### Derivata Let $f_n(x)$ be a sequence of continuously differentiable functions on $[a,b]$. If * $f_n(x_0)$ converges for at least one $x_0 \in [a,b]$ * the sequence of derivatives $f'_n(x)$ converges uniformly to a limit function $g(x)$, then * $f_n(x)$ converges uniformly to a differentiable function $f(x)$ and $$\frac{d}{dx}\left( \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) \right) = \lim_{n\rightarrow} \left( \dfrac{d}{dx} f_n(x) \right) = g(x) \ .$$ ```{dropdown} Dimostrazione :open: **Proof.** Using fundamental theorem of calculus and the limit-integral swap $$f_n(x) - f_n(x_0) = \int_{a}^{b} f'_n(t) \, d t$$ Taking the limit $n \rightarrow + \infty$ $$\lim_{n \rightarrow +\infty} \left( f_n(x) - f_n(x_0) \right) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{x_0}^{x} f'_n(t) \, d t \ ,$$ and, as $f'_n(t) \rightarrow g(t)$ uniformly on $[a,b]$ it's possible to swap the limit and the integral, $$\lim_{n \rightarrow +\infty} \left( f_n(x) - f_n(x_0) \right) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{x_0}^{x} f'_n(t) \, d t \ = \int_{x_0}^{x} \lim_{n \rightarrow +\infty} f'_n(t) \, d t = \int_{t=x_0}^{x} g(t) \, dt$$ Using the pointwise convergence in $x_0$ it follows $$\lim_{n\rightarrow+\infty} f_n(x) = f(x_0) + \int_{t=x_0}^{x} g(t) \, dt \ $$ Let define the limit of the sequence of function as $f(x)$ (as it must be for the application of the fundamental theroem of calculus. --- $$\begin{aligned} \left| f_n(x) - f(x) \right| & = \left| \left( f_n(x_0) + \int_{x_0}^{x} f'_n(t) \, dt \right) - \left( f(x_0) + \int_{x_0}^{x} g(t) \, dt \right) \right| = \\ & \le \left| f_n(x_0) - f(x_0) \right| + \int_{x_0}^{x} \left| f'(t) - g(t) \right| \, dt = \\ & \le \left| f_n(x_0) - f(x_0) \right| + ( b - a ) \sup_{t \in [a,b]}\left| f'(t) - g(t) \right| \end{aligned}$$ and taking the $\sup$ $$ \sup_{x \in [a,b]} \left| f_n(x) - f(x) \right| \le \left| f_n(x_0) - f(x_0) \right| + ( b - a ) \sup_{t \in [a,b]}\left| f'(t) - g(t) \right| $$ As $n \rightarrow +\infty$, * the first term goes to zero for the pointwise convergence of $f_n$ in $x_0$ * the second term goes to zero for the uniform convergence of $f'_n \rightarrow g$ thus $f_n \rightarrow f$ uniformly. ``` (vedi W.Rudin Principles of Mathematial Analysis[^rudin]. E' necessario? Libro per corsi universitari di Analisi). *Uncomment?* (math-hs:series:fun:series)= ## Serie di funzioni reali Data una successione di funzioni $\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ definite su un dominio $D \subseteq \mathbb{R}$, si definisce **serie di funzioni** la somma formale: $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)$$ La convergenza (puntuale, uniforme o assoluta) della serie è studiata attraverso la **successione delle somme parziali** $S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} f_n(x)$. ### Convergenza **Convergenza puntuale.** La serie di funzioni converge puntualmente a una funzione $f$ in $A$, se la serie numerica $\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x_0)$ converge a $f(x_0)$ per ogni $x_0 \in A$ **Convergenza assoluta.** La serie di funzioni converge assolutamente, se la serie $|f_n|$ converge puntualmente. **Convergenza uniforme.** La serie di funzioni converge uniformemente a una funzione $f$ in $A$, se la successione delle somme parziali $\{ s_n(x) \}_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformemente. **Convergenza totale.** Se soddisfa il [criterio di Weierstrass](https://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Weierstrass) 1. Esiste una successione $\{ M_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ tale che $$|f_n(x)| \le M_n \quad \text{s.t.} \quad \sum M_n < + \infty \quad , \quad \forall x \ in A \quad n \in \mathbb{N}$$ cioè esiste una serie $\{ M_n \}$ a termini positivi convergence che domini la serie di funzioni considerata. #### Proprietà delle convergenze * $$\text{totale} \rightarrow \text{uniforme, assoluta}$$ * Se una serie converge uniformemente in $A$, allora la successione delle funzioni converge uniformemente a $0$ in $A$, cioè $\lim_{n \rightarrow +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x)| = 0$. #### Proprietà legate alla convergenza **Limite.** Siano $f_n(x)$ continue (e quindi $\lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x) = f_n(x_0)$), e sia $\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) \rightarrow f(x)$ uniformemente. Allora anche la funzione somma $f(x)$ è continua e $$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0} \sum_n f_n(x) & = \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) = \sum_{n} f_n(x_0) = \sum_n \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x) \ . \\ \end{aligned}$$ ```{dropdown} Dimostrazione Ipotesi e tesi: Se $f_n$ sono continue e $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ converge uniformemente a $f(x)$, allora $f(x)$ è continua e $\lim_{x \to x_0} \sum_{n=0}^\infty f_n(x) = \sum_{n=0}^\infty \lim_{x \to x_0} f_n(x)$. Dimostrazione: * Sia $S_N(x) = \sum_{n=0}^N f_n(x)$. Poiché $S_N(x)$ è somma finita di funzioni continue, $S_N(x)$ è continua per ogni $N \in \mathbb{N}$. * Per ipotesi, $S_N(x) \rightrightarrows f(x)$ (converge uniformemente) su $A$. * Per il Teorema sulla continuità del limite uniforme di una successione di funzioni, il limite uniforme di una successione di funzioni continue è una funzione continua. * Quindi $f(x)$ è continua in $x_0$. Di conseguenza: $$\lim_{x \to x_0} \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x_0) = \sum_{n=0}^{+\infty} \lim_{x \to x_0} f_n(x) \quad \blacksquare$$ ``` **Integrale.** Sia $\sum_n f_n(x)$ una serie di funzioni che converge uniformemente a $f(x)$ in $A$, allora la serie dell'integrale è pari all'integrale della funzione somma, $$\sum_n \int_{A} f_n(x) \, dx = \int_A \sum_n f_n(x) \, dx = \int_A f(x) \, dx \ .$$ ```{dropdown} Dimostrazione Ipotesi e tesi: Se $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ converge uniformemente a $f(x)$ su $[a,b]$, allora: $$\sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b \left( \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) \right) dx = \int_a^b f(x) \, dx$$ Dimostrazione: * Definiamo la successione delle somme parziali $S_N(x) = \sum_{n=0}^N f_n(x)$. Per la linearità dell'integrale finito: $$\int_a^b S_N(x) \, dx = \int_a^b \left( \sum_{n=0}^N f_n(x) \right) dx = \sum_{n=0}^N \int_a^b f_n(x) \, dx$$ * Poiché $S_N(x) \rightrightarrows f(x)$ uniformemente su $[a,b]$, per il Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale per successioni: $$\lim_{N \to +\infty} \int_a^b S_N(x) \, dx = \int_a^b \left( \lim_{N \to +\infty} S_N(x) \right) dx = \int_a^b f(x) \, dx$$ * Sostituendo l'uguaglianza del punto 1: $$\sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=0}^N \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx \quad \blacksquare$$ ``` **Derivata.** Sia $\sum_n f_n(x)$ una serie di funzioni derivabili in $A$ convergente in almeno un punto $x_0 \in A$, sia la serie delle derivate $f_n'(x)$ uniformemente convergente. Allora la derivata della funzione somma $f(x)$ può essere scritta come la serie delle derivate. $$f(x) = \sum_n f_n(x) \ , \ \ \sum_n f'_n(x) \text{ unif. conv} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{d}{dx} f_n(x) = \sum_{n} f'_n(x) \ .$$ ```{dropdown} Dimostrazione Ipotesi e tesi: Siano $f_n \in C^1([a,b])$. Se $\sum_{n=0}^\infty f_n(x_0)$ converge per un punto $x_0 \in [a,b]$ e la serie delle derivate $\sum_{n=0}^\infty f_n'(x)$ converge uniformemente a $g(x)$ su $[a,b]$, allora $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ converge uniformemente a una funzione $f(x)$ derivabile, e $f'(x) = g(x)$. Dimostrazione: * Consideriamo la successione delle somme parziali $S_N(x) = \sum_{n=0}^N f_n(x)$. * La successione delle derivate delle somme parziali è: $$S_N'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^N f_n(x) \right) = \sum_{n=0}^N f_n'(x)$$ * Per ipotesi, $S_N'(x) \rightrightarrows g(x)$ uniformemente su $[a,b]$ e $S_N(x_0)$ converge puntualmente. * Per il Teorema di derivazione per successioni di funzioni, $S_N(x)$ converge uniformemente a una funzione derivabile $f(x)$, e vale: $$f'(x) = \left( \lim_{N \to +\infty} S_N(x) \right)' = \lim_{N \to +\infty} S_N'(x) = g(x)$$ * Esplicitando nuovamente la somma della serie: $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) \right) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n'(x) \quad \blacksquare$$ ``` ### Serie di potenze e Serie polinomiali Le serie di potenze hanno la forma $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (x - x_0)^n$$ dove $x_0 \in \mathbb{R}$ è il centro della serie e $a_n \in \mathbb{R}$ sono i coefficienti. #### Raggio e Intervallo di Convergenza Per il **Teorema di Abel**, esiste un valore $R \in [0, +\infty]$ chiamato **raggio di convergenza** tale che: * La serie converge **assolutamente** per ogni $x \in (x_0 - R, x_0 + R)$. * La serie **non converge** per $|x - x_0| > R$. * La serie converge **uniformemente** in ogni intervallo chiuso e limitato $[a, b] \subset (x_0 - R, x_0 + R)$. Il raggio $R$ può essere calcolato tramite i noti criteri della radice o del rapporto sui coefficienti $a_n$: $$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \quad \text{oppure} \quad \frac{1}{R} = \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$ --- ### Serie di Taylor e MacLaurin Se una funzione $f(x)$ è infinitamente derivabile ($f \in C^\infty$) in un intorno di $x_0$, è possibile associare a $f$ la sua **serie di Taylor** centrata in $x_0$: $$T(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n$$ Quando $x_0 = 0$, la serie prende il nome di **serie di MacLaurin**. ```{admonition} Condizione per la convergenza della Serie di Taylor :class: warning **Attenzione:** L'essere $f \in C^\infty$ *non* garantisce che la serie di Taylor converga a $f(x)$. Per garantire che $f(x) = T(x)$, la successione dei resti $R_N(x) = f(x) - S_N(x)$ deve tendere a zero per $N \to +\infty$: $$\lim_{N \to +\infty} R_N(x) = 0$$ ``` #### Esempi notevoli con intervalli di convergenza 1. **Funzione Esponenziale:** $$e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad (R = +\infty)$$ 2. **Funzione Seno:** $$\sin x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad (R = +\infty)$$ 3. **Funzione Coseno:** $$\cos x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad (R = +\infty)$$ 4. **Serie Geometrica (Sviluppo di $\frac{1}{1-x}$):** $$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \quad \text{per } x \in (-1, 1) \quad (R = 1)$$ 5. **Logaritmo Naturale:** $$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots \quad \text{per } x \in (-1, 1] \quad (R = 1)$$ ```{dropdown} Intervalli di convergenza e campo complesso :open: $$f(z) = \frac{1}{1+z^2}$$ $$\begin{aligned} f' (z) & = - 2 z ( 1 + z^2 )^{-2} \\ f'' (z) & = - 2 ( 1 + z^2 )^{-2} - 2 z (-2) ( 1 + z^2 )^{-3} 2 z = ( 1 + z^2 )^{-3} ( -2 - 2 z^2 + 8 z^2 ) = \\ & = ( 1 + z^2 )^{-3} ( - 2 + 6 z^2 ) \\ f'''(z) & = -3 (1+z^2)^{-4} 2 z ( -2 + 6 z^2 ) + ( 1 + z^2 )^{-3} 12 z = \\ & = ( 1 + z^2 )^{-4} ( 12 z - 36 z^3 + 12 z + 12 z^3 ) = \\ & = 24 ( 1 + z^2 )^{-4} z ( 1 + z^2 ) \\ f^{(4)}(z) & = \dots \\ \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} f(0) & = 1 \\ f'(0) & = 0 \\ f''(0) & = -2 \\ f'''(0) & = 0 \\ f^{(4)}(0) & = 24 \\ & \dots \end{aligned}$$ so that Taylor series with $z_0 = 0$ reads $$f(z) = 1 - z^2 + z^4 - z^6 + z^8 + \dots = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n z^{2n} \ .$$ This geometric series in $a = (-z^2)$ converges if $|a| < 1$ and thus if $| z | < 1$, cioè una circonferenza nel piano complesso di raggio $1$ centrata nell'origine. **todo** *Controllare questo risultato: per ogni funzione olomorfa,il raggio di convergenza della serie di Taylor centrata in $z_0$ coincide con la distanza tra $z_0$ e la singolarità più vicina nel piano complesso.* **Osservazione.** La funzione $f(z)$ ha due poli nel piano complesso per $z = \mp i$. ``` #### Controesempi di serie di Taylor che non convergono alla funzione originale ```{dropdown} Funzione "bump" (scalino morbido) :open: $$f(x) = \left\{ \begin{aligned} & e^{-\frac{1}{1-x^2}} && |x| < 1 \\ & 0 && |x| \ge 1 \end{aligned} \right.$$ Per $x \in (-1,1)$ $$\begin{aligned} f'(x) & = -2 x \left( 1 - x \right)^{-3} e^{-\frac{1}{1-x^2}} \\ f''(x) & = \\ \dots & ... \\ \end{aligned}$$ mentre per $x > 1$, tutte le derivate sono identicamente nulle. La funzione è derivabile infinitamente, poiché la derivata in $|x| = 1$ esiste (derivate sinistra uguale a derivata destra). La serie di Taylor centrata in $x_0 = 1$ quindi non converge alla funzione di partenza $f(x)$, ma alla funzione identicamente nulla $$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{n)}(1)}{n!} (x - 1)^n = 0 \ ,$$ poiché $f^{(n)}(1) = 0$ per ogni valore di $n$. ``` ```{dropdown} Controesempioo di Cauchy: Funzione $C^\infty$ non analitica **Osseervazione.** Il calcolo dei termini della serie, coinvolge un'operazione di limite $\lim_{x \rightarrow 0}$ per evitare di dividere per $0$. Un classico esempio di funzione $C^\infty$ la cui serie di Taylor converge, ma **non alla funzione stessa**, è la funzione di Cauchy: $$f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & \text{se } x \neq 0 \\ 0 & \text{se } x = 0 \end{cases}$$ * Si dimostra che $f^{(n)}(0) = 0$ per ogni $n \ge 0$. * Di conseguenza, la sua serie di MacLaurin è identicamente nulla: $T(x) = 0$. * La serie converge per ogni $x \in \mathbb{R}$, ma coincide con $f(x)$ **solo** nel punto $x = 0$. ```